Yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar üzerinde Sato-Tate benzeri problemler üzerine

Abstract

Modüler formlar matematiğin özellikle de sayılar teorisinin önemli bir konusu olup yoğun bir şekilde çalışılmaktadır. Birçok anabilim dalını bir araya getirmesi nedeniyle de birçok matematikçi için ‘modüler formlar her yerde’ bulunur. Altı bölümden oluşan bu çalışmanın 1. Bölüm'ünde modüler formlar tanımlanıp temel özellikleri incelenecek ve böylece tezde ihtiyaç duyulan alt yapı oluşturulacaktır. Tezin özgün kısımlarından ilkini oluşturan 2. Bölüm'de yarım tamsayı ağırlıklı Hecke eigenformların sistematik seçimi probleminin çözümü verilecektir. 3. Bölüm'de ise 21. yüzyılın matematikteki en önemli başarılardan birisi olan Sato-Tate Konjektürü tanıtılacak ve Bruinier-Kohnen Konjektürü üzerine bir uygulaması verilecektir. Özgün kısmın ikinci parçası olan 4. Bölüm'de ise Ramanujan-Petersson Konjektürü tarafından normalleştirilen yarım tamsayı ağırlıklı modüler formların Fourier katsayılarının dağılımı konusu üzerinde durulacak, bir açık soru ortaya konulup mümkün olan tüm verilerle iddia desteklenecektir. Özgün kısmın son parçası olan 5. Bölüm'de Bruinier-Kohnen Konjektürü güçlendirilerek ifade edilecektir. Altıncı ve son bölüm ise tartışma, sonuç ve gözlemlerden oluşmaktadır.

Modular forms are an important subject of mathematics, especially number theory, and they are studied intensively. Because it brings together many branches of science, 'modular forms are everywhere' for many mathematicians. In the first part of this six-part study, modular forms will be defined and their basic properties will be examined, thus creating the background needed in the thesis. In Chapter 2, which is the first of the original parts of the thesis, the solution of the systematic selection problem of half-integral weight Hecke eigenforms will be given. In Chapter 3, Sato-Tate Conjecture, one of the most important achievements in mathematics of the 21st century, will be introduced and an application on the Bruinier-Kohnen Conjecture will be given. In the second part of the original part, Chapter 4, the distribution of Fourier coefficients of half-integral weight modular forms normalized by the Ramanujan-Petersson Conjecture will be discussed, an open question will be raised and the claim will be supported with all possible data. The last part of the original part, In Chapter 5, the Bruinier-Kohnen Conjecture will be strengthened and expressed. The sixth and last part consists of discussion, conclusion and observations.