Yarım Tamsayı Ağırlıklı Modüler Formlar ÜzerindeSato-Tate Benzeri Problemler Üzerine

Abstract

Birçok uygulama alanı olan modüler formların yıllardır popülerliğini kaybetmemiş olması sürpriz değildir. Örneğin, Taniyama-Shimura Konjektürü Q üzerinde tanımlı her bir eliptik eğrinin iki ağırlıklı özel bir modüler forma karşılık geldiğini ve tersinin de doğru olduğunu söyler. Frey-Serre-Ribet'in çalışmalarının ardından 1987'de Taniyama-Shimura Konjektürü'nün doğruluğunun Fermat'ın Son Teoremi'ni gerektirmesi 20. yy'ın sonunda matematikte çığır açan başarının ilk adımı olmuş, 1994'te Wiles, özelinde modüler formları bir kez daha gündeme getiren önemli bir başarıya imzasını atmıştır. Bu teorem ise Modülarite Teoremi adını almıştır.Sıra zengin aritmetiğiyle modüler formların bu kez sayı teorisinde açık problemi olan Sato-Tate Konjektürü'ne gelmiştir. Nihayet 2011de Taylor ve çalışma arkadaşları problemi çözerek önemli bir iş başarmışlardır. Bu teorem öncelikle eliptik eğriler için verilmiş olup, Modülarite Teoremi yardımıyla tercüme edildiğinde tamsayı ağırlıklı bazı modüler formların Ramanujan- Petersson sınırı yardımıyla normalleştirilmiş Fourier katsayılarının işaretlerinin eşit dağıldığını söyler, bu anlamda da bu katsayıların histogramı çizildiğinde birim dairenin üst yarı düzlemde kalan bölgesinde kaldığı gözlemlenir. Bu sayede [-1, 1] aralığına düşen normalleştirilmiş Fourier katsayılarının doğal yoğunluğu basit bir integral yardımıyla ifade edilebilir.Bu proje pür matematik alanında olup amacı, yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar üzerinde Sato-Tate benzeri bir sonuç elde edilip edilemeyeceğini incelemektir. Bunun ilk adımı üzerinde istatistik çalışmaları yapılabilecek kadar çok sayıda Fourier katsayısı hızla hesaplanabilecek yarım tamsayı ağırlıklı ve 4 seviyeli Hecke eigenformların sistematik seçimidir. Rankin-Cohen parantezi etkin şekilde kullanılarak bu problem çözülmüş olup, bu özgün sonuç literatüre kazandırılmıştır. Proje kapsamında yürütülen yüksek lisans tezinde bu metot tanıtılmaya çalışılmıştır.Elde edilecek sonuçların Shimura yükseltmesinden etkilenmemesi adına sadece içinde tamkare çarpan bulundurmayan indisli Fourier katsayıları dikkate alınıp, Ramanujan- Petersson Konjektürü yardımıyla katsayılar normalleştirilmiştir. Ardından bu sistematik geniş hesaplamalar yardımıyla yarım tamsayı ağırlıklı 4 seviyeli Hecke eigenformların normalleştirilmiş katsayılarının genelleştirilmiş Gauss dağılımına sahip olabileceği gözlemlenmiş ve sayısal verilerle bu gözlem desteklenmiştir. Öte yandan bu çalışmada tamamen ispatlanması için literatürde herhangi araç bulunmayan ancak özel durumlarıyla ilgili birçok makale yazılan Bruinier-Kohnen İşaret Eşdağılım Konjektürü üzerine önemli bir gelişme kaydedilmiştir. Histogram grafiklerinde sıfırın çevresinde görülen simetrinin bugüne kadar konjektürü doğrulayan en geniş kapsamlı çalışma olduğu söylenebilir. Üstelik işaret ve mutlak değerlerin birbirinden bağımsız şekilde dağılması konjektürün güçlendirilmesini sağlamış olup literatüre bu yönde bir katkı sağlanmıştır. Bu çalışmalar proje kapsamında yürütülen doktora tezi için taban oluşturmuştur.