Kesirli türevli sönüme sahip tek ve iki serbestlik dereceli sistemlerin yaklaşık çözümleri ve kararlılık analizleri

Abstract

Bu tez kapsamında, yapıların dinamik analizlerinde kritik bir parametre olan sönüm terimlerini içeren matematiksel modeller ele alınmıştır. Dinamik sistemler, hem tek serbestlik dereceli hem de iki serbestlik dereceli olarak ayrı ayrı değerlendirilmiş ve bu sistemlerin titreşim davranışları incelenmiştir. Modellerde özellikle, gerçeğe daha yakın sonuçlar elde edebilmek amacıyla, kesirli türevli olarak modellenmiş olan sönümlere odaklanılmıştır. Kesirli türevlerin kullanılması, geleneksel tam sayı mertebeli türevlere göre daha geniş bir fenomeni modelleyebilme kapasitesine sahip olup, yapıların dinamik tepkilerini daha hassas bir şekilde tahmin etme olanağı sunmaktadır. Tezde, bu sönüm modellerinin matematiksel çözümleri elde edilerek, bu çözümler üzerinden kararlılık analizleri gerçekleştirilmiştir. Kararlılık analizleri, sistemin çeşitli parametreler altındaki davranışını ve olası dengesizliklerini ortaya koymakta olup, bu analizler yapıların güvenli tasarımı açısından kritik öneme sahiptir. Çözüm yöntemi olarak, doğrusal olmayan sistemler ve kesirli türevler içeren modeller için güçlü bir araç olan ve analitik çözümlerin zor olduğu durumlarda kullanılabilen bir pertürbasyon tekniği olan çok zaman ölçekli metot tercih edilmiştir. Bu metodun sağladığı avantajlarla, hem doğrusal olmayan etkilerin hem de kesirli sönüm terimlerinin dinamik sistemin davranışı üzerindeki etkileri analiz edilmiştir. Uygulama olarak, iki serbestlik dereceli sisteme ait matematiksel model ele alınmıştır. Serbest titreşim ve baskın rezonans genel çözümleri ile kararlı durum çözümleri elde edilmiştir. Kararlı durum çözümlerinin genel çözümler ile çakıştığı bölgeler grafiklerle sunulmuştur. 𝛼�� parametresinin çözümler üzerinde etkileri, zaman-deplasman grafikleri ve genlik-zaman grafiklerinde gösterilmiştir.

In this thesis, mathematical models, including damping terms, which are critical parameters in dynamic analyses of structures, are considered. Dynamic systems have been analyzed separately, considering both single-degree-of-freedom and two-degree-of-freedom systems, and their vibration behavior has been investigated. The models mainly focus on fractional-order damping to obtain more accurate results. Using fractional derivatives allows for a broader range of phenomena to be modeled compared to traditional integer-order derivatives, providing the ability to predict the dynamic responses of structures more precisely. In the thesis, the mathematical solutions of these damping models are obtained, and stability analyses are performed based on these solutions. Stability analyses reveal the system's behavior under various parameters and possible instabilities, and these analyses are critical for the safe design of structures. As a solution method, the method of multiple scales, which is a powerful tool for nonlinear systems and models containing fractional derivatives and a perturbation technique that can be used in cases where analytical solutions are difficult, is preferred. With the advantages provided by this method, the effects of both nonlinear effects and fractional damping terms on the behavior of the dynamic system are analyzed. As an application, the mathematical model of the two-degree-of-freedom system is examined. Free vibration and primary resonance general solutions and steady-state solutions are obtained. The regions where the steady-state solutions coincide with the general solutions are presented with graphics. The effects of 𝛼� parameter on the solutions are demonstrated with time-displacement and amplitude-time graphs.