Ramanujan Tau fonksiyonu üzerine

Abstract

Sayılar Teorisi denince akla gelen bilim insanlarından birisi olan Srinivasa Ramanujan sadece yaşadığı yüzyıla değil modern matematiğin tarihi zirve yaptığı 21. yüzyıla da süren etkisiyle çok önemli başarılara imza atmıştır. Altı bölümden oluşan bu çalışmada Ramanujan'ın sonuçlarına temel oluşturan Ramanujan tau fonksiyonu çalışılmıştır. Modüler formların tanıtılması ile başlayan çalışmanın ikinci bölümünde Ramanujan tau fonksiyonu tanımlanıp temel özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde parçalanış fonksiyonu verilmiş ve Ramanujan'ın bu fonksiyon üzerine önemli sonuçlar verdiği kongrüanslar incelenmiştir. Dördüncü bölüme Ramanujan konjektürleri incelenmiştir. Beşinci bölümde ise Ramanujan tau fonksiyonun Fourier katsayılarının asallığı üzerine yapılan çalışmalar üzerinde durulmuştur. Çalışmanın altıncı ve son bölümünde ise Ramanujan tau fonksiyonuna dair güncel bir çalışma incelenmiştir. Çalışma derleme niteliğindedir.

Srinivasa Ramanujan, one of the scientists that comes to mind when it comes to NumberTheory, has achieved significant success not only in the century he lived in, but also in the 21st century, when modern mathematics reached its historical peak. In this study, which consists of six chapters, the Ramanujan tau function, which forms the basis for Ramanujan's results, is studied. In the second part of the study, which started with the introduction of modular forms, the Ramanujan tau function was defined and its basic properties were examined. In the third chapter, the partition function is given and the congruences on which Ramanujan gives important results on this function are examined. In the fourth chapter, Ramanujan conjectures are examined. In the fifth chapter, the studies on the primality of the Fourier coefficients of the Ramanujan tau function are emphasized. In the sixth and last part of the study, a recent study on the Ramanujan tau function was examined. The study is a compilation.