Bazı lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemler ve tam çözüm yöntemleri

Abstract

Bu tezde, optik fiberlerde ışık darbelerinin yayılımını modelleyen ve dördüncü mertebeden doğrusal olmayan bir kısmi diferansiyel denklem ele alınmıştır. Söz konusu denklem, doğrusal olmayan terimler ve yüksek mertebeden dispersiyon etkilerini içermesi nedeniyle oldukça karmaşık bir yapıya sahiptir. Optik fiber sistemlerinde veri iletimi, soliton oluşumu ve solitonların dinamik davranışlarının anlaşılması için önemli bir matematiksel çerçeve sunmaktadır. Bu nedenle, denklemin tam çözümlerinin elde edilmesi hem teorik hem de uygulamalı bilimler açısından büyük önem taşımaktadır.

Denklemin tam çözümlerinin elde edilmesi için literatürde sistematik ve etkili yöntemler olarak bilinen üç farklı yöntem kullanılmıştır: Sardar alt denklem yöntemi, Riccati-Bernoulli yöntemi ve $\left(\dfrac{G'}{kG'+G+r}\right)$-genişleme yöntemi. Bu yöntemler, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılan güçlü tekniklerdir. Çalışma kapsamında, bu yöntemler ile yeni ve özgün tam çözümler türetilmiştir. Elde edilen çözümler, yalnızca matematiksel olarak önemli sonuçlar sunmakla kalmamış, aynı zamanda optik fiberlerde soliton davranışlarının modellenmesi, plazma fiziğinde elektromanyetik dalgaların yayılımının anlaşılması ve fiber optik teknolojilerinin geliştirilmesi gibi çeşitli bilimsel alanlarda uygulama potansiyeli göstermiştir.

Elde edilen analitik çözümlerin fiziksel anlamı, bazı özel çözümlere ait grafikler aracılığıyla görselleştirilmiştir. Bu grafikler, soliton davranışlarının zamana ve mekâna bağlı evrimini açıklamakta kritik bir rol oynamıştır. Çözümlerin pratik doğruluğunu ve bilimsel önemini vurgulayan bu görselleştirmeler, doğrusal olmayan fenomenlerin daha derinlemesine anlaşılmasına katkıda bulunmuştur.

Sonuç olarak, bu çalışma, zorlu yapıya sahip bir denklemin tam çözümlerini sunarak, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler ve bunların çeşitli bilimsel ve mühendislik uygulamalarına yönelik literatüre önemli bir katkı sağlamaktadır.

In this study, a fourth-order nonlinear partial differential equation modeling the propagation of light pulses in optical fibers is addressed. The equation exhibits a highly complex structure due to its inclusion of nonlinear terms and higher-order dispersion effects. It provides a significant mathematical framework for understanding data transmission, soliton formation, and the dynamic behavior of solitons in optical fiber systems. Consequently, obtaining exact solutions to the equation holds great importance both in theoretical and applied sciences.

To derive exact solutions to the equation, three different methods widely recognized in the literature for their systematic and effective approach were employed: the Sardar sub-equation method, the Riccati-Bernoulli method, and the $\left(\dfrac{G'}{kG'+G+r}\right)$-expansion method. These techniques are powerful tools frequently used for solving nonlinear partial differential equations. Within the scope of this study, novel and original exact analytical solutions were obtained using these methods. The solutions not only provide valuable mathematical insights but also demonstrate applicability in various scientific fields, such as modeling soliton behavior in optical fibers, understanding the propagation of electromagnetic waves in plasma physics, and advancing fiber optic technologies.

The physical significance of the analytical solutions was visualized through graphs of specific solutions. These visualizations play a critical role in explaining the spatiotemporal evolution of soliton behaviors. By emphasizing the practical accuracy and scientific importance of the solutions, these graphs contribute to a deeper understanding of nonlinear phenomena.

In conclusion, this study offers exact solutions to a challenging equation and makes a substantial contribution to the literature on nonlinear partial differential equations and their diverse applications in scientific and engineering fields.