Rankin-Cohen operatörleri ve uygulamaları

Abstract

Modüler formlar Matematik’in birçok dalını bir araya getirmesi, uygulamalarının Fizik'e kadar uzanması nedeniyle yüzyılı aşan süredir popülerliğini kaybetmemiştir ve halen yaygın olarak çalışılmaktadır. Bu çalışmada modüler formların Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi ile Sayılar Teorisi’nin ara kesitinde kalan Rankin-Cohen operatörleri (parantezi) konusu çalışılmıştır. 7 bölüm ve bir ekten oluşan bu tezin ilk bölümü ön bilgilere ve ileride kullanılacak olan kavramların tanıtılmasına ayrılmıştır. İkinci bölümde modüler formlar üzerinde tanımlı diferansiyel operatörler verilmiş olup üçüncü bölümde tezin ana kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezi kavramı tanıtılmış ve temel özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde Rankin-Cohen parantezlerinin modüler formlar üzerinde tanımlı Petersson iç çarpımı ile olan ilişkisi ele alınmıştır. Beşinci bölümde Choie ve Lee tarafından 2011'de yayımlanan bir makale incelenmiştir. Altıncı bölümde Lanphier ve Takloo-Bighash tarafından verilen Rankin-Cohen parantezleri ile ilgili ilginç bir sonuç verilecektir. Yedinci ve tezin orijinal kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezinin bir uygulaması olarak Kohnen plus uzayında yer alan yarım tam sayı ağırlıklı iki Hecke eigenform, Eisenstein serisi ve klasik teta serisinin birinci mertebeden Rankin-Cohen parantezi cinsinden ifade edilmiştir. Tezde ek olarak Pari-GP yazılımında mf-paketinde yer alan Rankin-Cohen parantezini de kapsayan bazı hesaplamaların ekran görüntüleri yer almaktadır.

Modular forms have not lost popularity for more than a hundred years and are still widely studied, as they bring together many branches of mathematics and their applications extend to physics. In this study, the subject of Rankin-Cohen operators (brackets), which is located at the intersection of analysis and function theory and modular forms. The first part of this thesis, which consists of 7 chapters and an appendix, is devoted to preliminaries and the introduction of topics that will be used in the thesis. In the second part, differential operators defined on modular forms are given. In the third part, the concept of Rankin-Cohen bracket, which forms the main part of the thesis, is introduced and its basic features are examined. In the fourth section, the relation of Rankin-Cohen bracket with Petersson inner product defined on modular forms is discussed. In the fifth chapter, the article published in 2011 by Choie and Lee is examined. In the sixth chapter, an interesting result about the Rankin-Cohen parenthesis given by Lanphier and Takloo-Bighash is discussed. As an application of the Rankin-Cohen bracket, which forms the seventh and original part of the thesis, the two Hecke eigenforms in the Kohnen-plus space are expressed via the first order Rankin-Cohen parenthesis in terms of the classical theta series and Eisenstein series are expressed. In addition to the thesis, there are screenshots of some calculations including the Rankin-Cohen bracket included in the mf-package in Pari-GP software.