SIP özelliğine sahip genelleştirilmiş ADS modüller

Abstract

1970' de Fuchs tarafından tanımlanan, modüller için mutlak dik toplanan özelliği (absolute direct summand property, kısacası Ads ) son yıllarda revaçta olan bir araştırma konusudur. 1986 yılında Wilson modüller için dik toplanan arakesit özelliği (summand intersection property ya da kısacası SIP ) kavramını tanımladıktan sonra birçok matematikçi bu özellik üzerinde araştırmalar yaptı ve halen yapmaktadır. Bu iki kavram her ne kadar bağlantılıymış gibi gözüksede birbirinden tamamen farklı kavramlardır. 2015 yılında Takıl Mutlu, hem Ads hem de SIP özelliğini sağlayan yeni bir modül sınıfı olan SA-modül kavramını literatüre kazandırmıştır. Bu tezde, Ads ve SIP özelliğini sağlayan modül sınıfının bir genelleştirilmesi yapılmıştır. Bu amaçla önce çalışmamızda kullanacağımız modül teorinin temel kavramları ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, SA modüller olarak bilinen Ads ve SIP özelliğini sağlayan modül sınıfının bazı özellikleri ispatlarıyla birlikte verilmiştir. Son bölümde ise, SA modüllerin bir genelleştirmesi olan SA-extending modüller tanımlanmıştır. Keyfi bir halka üzerinde tanımlı bir modülün SA-extending olması için gerek ve yeter koşul verilmiştir. Ayrıca, iki SA-extending modülün dik toplamının SA-extending olması için gerekli koşul verilmiştir.

In 1970, Fuchs defined modules for the absolute direct summand property (Ads) in recent years is a subject of popular research. After defining the summand intersection property (SIP) for Wilson modules in 1986, many mathematicians have done many researches on this feature and still do it. Although these two concepts seem to be connected, they are completely different concepts. In 2015, Takıl Mutlu added the concept of SA-module, which is a new module class that provides both Ads and SIP property. In this thesis, a generalization of the class of modules that provides Ads and SIP property is made. Firstly, basic notions and theorems in the module theory which will be used in this work are given. Then, some of the properties of the class of module that provides the Ads and SIP property known as SA modules are given with their proofs. Finally, SA-extending modules, as a generalization of SA modules, are defined. Necessary and sufficient conditions for a module on an arbitrary ring to be SA-extending are given. Also a condition for the direct sum of two SA-extending modules to be an SA-extending module is provided.