Fibonacci ve benzeri sayı dizileri yardımıyla oluşturulan bazı Diophantine denklemleri üzerine

Abstract

Dört bölümden oluşan bu çalışmada, cebir ve sayılar teorisinin oldukça köklü ancak güncelliğini kaybetmeyen konusu, Diophantine denklemleri ele alınmıştır. Diophantine denklemleri tam olarak çözümleri tam sayı olan denklemlerdir. Bu nedenle günlük hayat problemlerine kolaylıkla uyarlanabilir. Örneğin Fibonacci, Tribonacci ve benzeri sayı dizilerinden oluşan bir denklem göz önüne alındığında, çözüm adayı olan sonsuz tane tam sayı olduğundan bu tarz denklemleri çözmek zor ve hatta bazen imkânsız olabilir. Burada Baker Teorisi’nin önemi ön plana çıkar. Bu teori belli bir sınırdan sonra denklemlerin tam sayı çözümü olmadığını garantiler ve böylece denklemlerin çözüm aralığını sınırlar. Bu çalışmanın ilk bölümünde çalışmanın temel konusunu oluşturan Fibonacci, Tribonacci ve Perrin sayıları tanıtılmış ve bazı özellikleri verilmiştir. 2. bölümde iki Fibonacci sayısının toplamının, 3. bölümde ise iki Fibonacci sayısının sıradaki farkının ne zaman 2’nin bir kuvveti olacağı problemleri literatürde mevcut olan çalışmalar yardımıyla incelenmiştir. Tezin özgün kısmını oluşturan 4. bölümde ise iki Perrin sayısının çarpımının ne zaman bir Tribonacci sayısı olduğu problemi çözüme kavuşturulmuştur.