Bazı üstel diophantine denklemleri üzerine

Abstract

Üç bölümden oluşan bu çalışmada sayılar teorisinin insanlık tarihi kadar eski sayılabilecek problemlerinden birisi olan Diophantine denklemlerinin özel bir durumu ele alınmıştır. Daha kesin olarak üstel Diophantine denklemleri için literatürde açık problem olarak yer alan Jeśmanowicz Sanısı çalışılmıştır. 2500 yıllık Pisagor Teoremi'ne farklı bir bakış açısıyla bakıp, üsler değişken haline getiren Sierpinski 1955-56'de 3^x+4^y=5^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu ispatlamıştır. Buradan hareketle Jeśmanowicz aynı yıl a^2+b^2=c^2 olmak üzere a^x+b^y=c^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu iddia etmiştir. Bu sanı birçok durum için doğrulanmış olup, tam çözümü henüz bilinmemektedir. İlk bölümde üstel Diophantine denklemleri tanıtılmış, ikinci bölümde ise bu sanı çalışılmıştır. Literatürde yeniden eskiye doğru geniş çaplı bir tarama yapılmıştır. Üçüncü bölümde ise Jeśmanowicz Sanısının özel bir durumu olan (20k)^x+(99k)^y=(101k)^z üstel Diophantine denkleminin elementer metotlar kullanılarak tek çözümünün (2, 2, 2) olduğu görülmüştür. Çalışma derleme niteliğindedir.

In this three-part study, a special case of Diophantine equations, which is one of the problems of the number theory as old as human history, is discussed. More precisely, for the exponential Diophantine equations, Jeśmanowicz's Conjecture, which is an open problem in the literature, is studied. Sierpinski proved that the exponential Diophantine equation (2, 2, 2) is 3^x+4^y=5^z by looking at in a different perspective to the 2500-years old Pythagorean Theorem. In the same year, Jeśmanowicz claimed that there was only one solution (2, 2, 2) of the exponential Diophantine equation, a^x+b^y=c^z with a^2+b^2=c^2. This assumption has been confirmed in many cases and the exact solution is not yet known. In the first part, exponential Diophantine equations are introduced and in the second part, this assumption is studied. A large-scale survey was carried out in the literature. In the third chapter, it is seen that the only solution (2, 2, 2) of the exponential Diophantine equation (20k)^x+(99k)^y=(101k)^z, which is a special case of Jesmanowicz's conjecture by elementer methods. The study is compilation.