Modern ve kuantum şifreleme algoritmaları

Abstract

Bu tez, modern ve kuantum şifreleme yaklaşımlarını matematiksel temeller üzerinden ortak bir çerçevede birleştirerek, iki alanın güvenlik anlayışlarını karşılaştırmalı biçimde tartışmaktadır. Klasik bölümde, Sezar ve yerine koyma gibi tarihsel şemalar yalnızca giriş örnekleri olarak değil; modüler aritmetik ve grup eylemleri bağlamında incelenmiştir. Bu temel yaklaşımlardan hareketle Feistel mimarisi, sözde-rastgele permütasyon ve işlev kavramları ile indirgeme temelli ispat mantığı ele alınmış; ayrıca doğrusal olmayanlık, difüzyon ve karışıklık gibi tasarım ilkelerinin ölçülebilirliği tartışılmıştır. Veri Şifreleme Standardı özelinde S-kutuları cebirsel normal form ve diferansiyel olasılık gibi nicel ölçütlerle değerlendirilmiştir. Kuantum bölümünde, güvenliğin fiziksel yasalara dayalı çerçevesi sunulmuştur. BB84 ve E91 protokolleri yan yana ele alınmış; BB84’te taban seçimi ve ölçüm istatistikleri, E91’de ise Bell türü korelasyonlar güvenlik temeli olarak değerlendirilmiştir. Doğruluk ve gizlilik hatalarının birlikte küçük tutulması gerektiği vurgulanmış; olası sızma senaryoları, gözlenen hata oranları ve E91 için uygun Bell testleri üzerinden üstten sınırlandırılmıştır. Sonlu örneklem koşullarında ise düzgünleştirilmiş eşitsizlikler kullanılarak elde edilebilecek gizli anahtar uzunluğunun nasıl kısaltılacağı belirlenmiştir. Uygulamalı kısımda Python tabanlı bir BB84 simülasyonu geliştirilmiştir. Model; kanal kaybı, depolarizasyon, dedektör verimi, karanlık sayım, baz uyumsuzluğu ve kes-yeniden gönderme gibi dinleyici saldırılarını kapsamaktadır. Parametre tahmini, hata düzeltme sızıntısı ve gizlilik yükseltme adımlarını izleyen uçtan uca iş akışı sayesinde süzülmüş anahtar oranı ve etkin sızıntı büyüklükleri hesaplanmıştır. Yapılan hassasiyet analizleri, hata oranındaki küçük artışların anahtar üretimini orantısız şekilde azalttığını ve güvenli çalışma bölgesinin mesafe–gürültü–dedektör parametreleri arasında hızla daralan bir “işletim penceresi” oluşturduğunu göstermiştir. Sonuçlar, düşük gürültü ve orta mesafe koşullarında pozitif anahtar üretiminin sürdürülebilir olduğunu; gürültü veya mesafenin artması halinde güvenliğin hızlı bir biçimde zayıfladığını ortaya koymaktadır.

This thesis integrates modern and quantum cryptographic approaches within a common mathematical framework and comparatively examines the security paradigms of both fields. In the classical part, historical schemes such as Caesar and substitution ciphers are analyzed not merely as introductory examples but within the context of modular arithmetic and group actions. Building upon these foundations, the Feistel architecture, the notions of pseudorandom permutations and functions, and reduction-based proof techniques are discussed. Furthermore, the measurability of design principles such as nonlinearity, diffusion, and confusion is addressed. Specifically, in the case of the Data Encryption Standard, S-boxes are evaluated through quantitative measures such as algebraic normal form and differential probability. In the quantum part, the security framework based on physical laws is presented. The BB84 and E91 protocols are examined side by side: BB84 relying on basis choice and measurement statistics, and E91 on Bell-type correlations. The necessity of simultaneously minimizing correctness and secrecy errors is emphasized, while potential eavesdropping scenarios are bounded using observed error rates and suitable Bell tests for E91. Under finite-size sampling conditions, smooth inequalities are employed to determine the extent to which the length of the secret key must be reduced. In the applied section, a Python-based simulation of BB84 communication is developed. The model accounts for channel loss, depolarization, detector efficiency, dark counts, basis mismatch, and intercept–resend eavesdropping strategies. Following an end-to-end workflow of parameter estimation, error correction leakage, and privacy amplification, both the sifted key rate and effective leakage sizes are obtained. Sensitivity analyses reveal that even small increases in error rate disproportionately reduce key generation, while the secure operating region rapidly contracts into a narrow “operational window” defined by distance, noise, and detector parameters. The results demonstrate that positive key generation remains sustainable under low-noise and medium-distance conditions, whereas increasing either noise or distance quickly undermines security.