Dik Konoid Ailesi Üzerine

Abstract

Bu tez çalışmasında, 3-boyutlu Öklid uzayında regle yüzeylerin önemli bir alt sınıfını oluşturan dik konoid yüzeyler ele alınmış ve bu yüzeylerin eğrilik karakterizasyonları incelenmiştir. Ça- lışmanın ilk aşamasında Öklid uzayı, eğriler ve yüzey teorisine dair temel geometrik kavramlar, birinci ve ikinci temel formlar ile şekil operatörü, Gauss eğriliği ve ortalama eğrilik bağıntıları ayrıntılı olarak sunulmuştur. Tezin ana kısmında, r(u, v) = (u cos v, u sin v, h(v)) parametrizasyonu ile verilen dik konoid yü- zeylerin diferansiyel geometrik özellikleri araştırılmıştır. Önceden belirlenmiş (prescribed) bir ortalama eğriliğe (H) veya Gauss eğriliğine (K) sahip dik konoid yüzeylerin inşası için gerekli ve yeterli uyumluluk koşulları türetilmiş ve yüzeyin profil eğrisini belirleyen h(v) fonksiyonunu veren integral ifadeleri açık biçimde elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen teorik sonuçların özel durumları irdelenerek minimal dik konoidlerin yalnızca düzlem veya helikoid olabileceği, açı- labilir (K= 0) dik konoidlerin ise düzleme indirgendiği gösterilmiştir. Son olarak, verilen farklı eğrilik fonksiyonları için dik konoid yüzey aileleri analitik olarak hesaplanmış ve elde edilen yüzeyler grafiklerle örneklendirilmiştir.

In this thesis, right conoid surfaces, which form an important subclass of ruled surfaces in 3-dimensional Euclidean space, are investigated, and their curvature characterizations are stu- died. In the preliminary part of the work, fundamental concepts of Euclidean space, curves, and surface theory including the first and second fundamental forms, the shape operator, Gaussian curvature, and mean curvature are presented in detail. In the main part of the thesis, the differential geometric properties of right conoid surfaces given by the parametrization r(u, v) = (u cos v, u sin v, h(v)) are examined. The necessary and sufficient compatibility conditions for constructing right conoid surfaces with prescribed mean curvature (H) or Gaussian curvature (K) are derived, and explicit integral formulas determining the pro- file curve h(v) are obtained. In addition, special geometric cases are analyzed, proving that a minimal right conoid surface is either a plane or a helicoid, while a developable (K= 0) right conoid surface is necessarily a plane. Finally, several right conoid surface families associated with specific curvature functions are computed analytically and illustrated with corresponding graphical representations.