Metalik yarı-Riemann yapılar ile hemen hemen parakontak metrik yapılar arasındaki ilişki

Abstract

Bu tezde, hemen hemen parakontak metrik yapılar ile metalik yarı-Riemann yapılar arasındaki ilişki incelenmiştir. Öncelikle hemen hemen parakontak metrik manifoldların temel özellikleri ele alınmış; bu yapıların özel sınıfları olan para-Kenmotsu ve para-Sasakian manifoldlara ilişkin temel bağıntılar, eğrilik özellikleri ve açıklayıcı örnekler verilmiştir. Ardından metalik Riemann ve metalik yarı-Riemann yapılar tanıtılarak bu yapıların integrallenebilirlik, paralellik ve eğrilik özellikleri incelenmiştir. Çalışmanın temel kısmında, bir hemen hemen parakontak metrik yapıdan hareketle 𝜑-ilişkili bir metalik yapı tanımlanmış ve bu yapının metalik yapı polinomunu sağladığı gösterilmiştir. Ayrıca sözkonusumetalikyapıylauyumlu biryarı-Riemannmetriği oluşturularakbumetriğin başlangıç metriğiyle ilişkisi belirlenmiştir. Elde edilen yapının geometrik özellikleri, karakteristik vektör alanının paralel olduğu durum ile başlangıç yapısının para-Kenmotsu olduğu ve para-Sasakian olduğu durumlarda ayrı ayrı incelenmiştir. Karakteristik vektör alanının paralel olması durumunda başlangıç metriği ile elde edilen met riğin Levi-Civita bağlantılarının çakıştığı ve metalik yapının yerel olarak metalik yapı olduğu belirlenmiştir. Para-Kenmotsu durumundaeldeedilenmetalikyapınınNijenhuistensörününsıfır olduğu ve dolayısıyla yapının integrallenebilir olduğu gösterilmiştir. Para-Sasakian durumunda ise elde edilen metalik yapının genel olarak integrallenebilir olmadığı sonucuna ulaşılmıştır. Bunun yanı sıra, her iki özel sınıf için Levi-Civita bağlantıları ve Riemann eğrilik tensörleri arasındaki ilişkiler açık biçimde elde edilmiş ve sonuçlar örneklerle desteklenmiştir. Bu sonuçlar, hemen hemen parakontak metrik yapılardan metalik yarı-Riemann yapıların üreti lebildiğini ve başlangıç yapısının geometrik sınıfının elde edilen metalik yapının integrallene bilirlik, bağlantı ve eğrilik özelliklerini doğrudan etkilediğini göstermektedir.In this thesis, the relationship between almost paracontact metric structures and metallic semi Riemannian structures is investigated. First, the fundamental properties of almost paracontact metric manifolds are presented. In particular, the basic identities, curvature properties, and illustrative examples of para-Kenmotsu and para-Sasakian manifolds, which constitute two dis tinguished classes of almost paracontact metric manifolds, are discussed. Subsequently, metallic Riemannian and metallic semi-Riemannian structures are introduced, and their integrability, parallelism, and curvature properties are examined. In the main part of the study, a 𝜑-related metallic structure is constructed from an almost paracontact metric structure, and it is shown that the resulting tensor field satisfies the defining polynomial equation of a metallic structure. Furthermore, a semi-Riemannian metric compatible with this metallic structure is introduced, and its relation to the initial metric is determined. The geometric properties of the induced structure are then studied separately in the cases where the characteristic vector field is parallel and where the initial structure is para-Kenmotsu or para-Sasakian. It is proved that, when the characteristic vector field is parallel, the Levi-Civita connections of the initial and induced metrics coincide and the resulting metallic structure is locally metallic. In the para-Kenmotsu case, the Nijenhuis tensor of the induced metallic structure vanishes; hence, the structure is integrable. In contrast, in the para-Sasakian case, the induced metallic structure is shown to be non-integrable in general. Moreover, for both special classes, explicit relations between the corresponding Levi-Civita connections and Riemann curvature tensors are derived, and the theoretical results are illustrated by suitable examples. These results show that metallic semi-Riemannian structures can be naturally induced from almost paracontact metric structures and that the geometric class of the initial structure di rectly determines the integrability, connection, and curvature properties of the induced metallic structure.